「続く」や「続ける」は、英語では「continue」「keep 〜ing」「last」「go on」などのように表現されます。
「continue」は、 「事柄」が主語となって「続く」という意味となったり、あるいは「人など」が主語となって「続ける」という意味となったりしますが、「続く・続ける」という意味では最も一般的な言葉と言えます。「continue」の後ろに「動詞」をつけて「〜し続ける」と言いたい場合には、「continue+to不定詞(to+動詞の原形)」あるいは「continue+現在分詞(動詞の原形の語尾に「ing」がついた形)」のどちらかとなります。「continue」の後ろが「to不定詞」と「現在分詞」のどちらであっても、意味的には大差ありません。
「keep」は、後ろに「動詞のing形」がついた場合に「〜し続ける」という意味になります。例えば「keep dancing」ならば「踊り続ける」という意味になる、ということです。「keep」は元々は「保つ」という意味の動詞です。つまり、「keep」の後ろに来る言葉が「何らかの状態」を表していた場合には、「keep+状態」で「その状態のままでいる(≒その状態を保つ)」という意味になります。「keep」の後ろに「動詞のing形」が置かれた場合、その「動詞のing形」は「動名詞」として解釈できることもありますが、基本的には「現在分詞」として解釈するのが良いでしょう。「現在分詞」というのは「進行中の状態」を表す言葉です。つまり、「keep+現在分詞」という形で「進行中の状態のままでいる」という意味になり、これが引いては「〜し続ける」という意味になるのです。
なお、「keep」と「現在分詞」の間に「on」が挟まれることがあります。例えば「keep on dancing」のような表現です。この場合の「on」というのは、「動作」というものを時間の流れに合わせて1つ「線」としてイメージしたとして、その線に「乗っかっている」ということを表す言葉です。線(動作の流れ)から離れているということを表したければ「off」となるのですが、「on」が使われる場合には「線から離れていない、つまりは動作が続いている」ということを表すことになります。このような意味の「on」は、「動作の中断(つまりは「off」となった状態)」を暗に示しながら、「一度中断したけれど、再び動作に戻って引き続き」という意味になったり、「中断はしていないけれど、そのまま引き続き」という意味になったりします。ただし、結論から言えば、「keep 〜ing」も「keep on 〜ing」も日本語に訳そうとするならば「〜し続ける」となり、両者にはさほど違いはありません。
「last」は、「ある程度の時間は継続すると思われる事柄」について、それが「どれくらい続くのか(続いたのか)」ということを表す場合に使われる言葉です。従って、「last」には「時間の長さ」を表す言葉(「how long」や「for+時間の長さ」や「till+継続の終わりの時点」などの表現)が伴われるのが普通です。これに対し、「continue」は「どれくらい続くのか(続いたのか)」という部分に着目しているとは限らず、単に「事柄が継続する」や「事柄を続ける」ということを述べることができます。また、「last」は「もともと継続すると思われる事柄」について述べられるので、「もつ・持ちこたえる」といった意味合いとして使われることもあります。
「go on」は、上述した「継続」の意の「on」を使った表現です。つまり、「go on」をそのまま解釈するならば「中断したけれど、再び進む」や「中断せずに進む」ということになります。「go on」もまた、「continue」や「keep」と同じように、後ろに「現在分詞」を伴って「〜し続ける」という意味を表すことができます。